Propositional logic

Question

I am unable to prove following equations without using truth table

1) p -> (q v r) = (p->q) V (p->r)

2) ~(p <-> q) = p <-> ~q

Answer 1

• p--->q= p'+q

• P<--->q = p'q'+pq

• p'+p' = p'

 

Answer 2

1) p -> (q v r) = (p->q) V (p->r) 

p → ( q ∨ r ) ☰ (~p) ∨ ( q ∨ r )

                    ☰  ~p ∨  q ∨ r  

                    ☰  ~p ∨ ~p ∨  q ∨ r  

                    ☰  ~p ∨ q  ∨  ~p ∨ r  

                    ☰ ( ~p ∨ q ) ∨ ( ~p ∨ r ) 

                    ☰ ( p →  q  ) ∨ ( p →  r )

---

2) ~(p <-> q) = p <-> ~q

~ ( p ↔ q ) ☰ ~ ( ( p → q )  ∧ ( q → p )  )

                 ☰  ~ ( ( ~p ∨ q )  ∧ ( ~q ∨ p )  )

                 ☰  (~  ( ~p ∨ q ) ) ∨  ( ~ ( ~q ∨ p )  )

                 ☰  (  ( p ∧ ~q )  ∨  ( q ∧ ~p )  )

                 ☰  (  ( p ∧  ( q ∧ ~p )  )  ∨  (  ( ~q ∧  ( q ∧ ~p )  )  

                 ☰  (  ( p ∨ ( q ∧ ~p )  )  ∧  (  ( ~q ∨ ( q ∧ ~p )  )  

                 ☰  (  ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ ~p )  )  ∧  (  ( ~q ∨ q ) ∧ ( ~q ∨ ~p )  ) 

                 ☰  (  ( p ∨ q ) ∧ T₀  )  ∧  (  T₀ ∧ ( ~q ∨ ~p )  ) 

                 ☰  (  ( p ∨ q )  )  ∧  ( ( ~q ∨ ~p ) ) 

                 ☰  (  ( q ∨ p )  )  ∧  ( ( ~q ∨ ~p ) ) 

                 ☰  (  ( ~q  p )  )  ∧  ( ( ~q ∨ ~p ) ) 

                 ☰  (  ( ~q  p )  )  ∧  ( ( ~p ∨ ~q ) ) 

                 ☰  (  ( ~q → p )  )  ∧  ( ( p → ~q ) ) 

                 ☰  (  ( ( p → ~q ) ∧ ( ~q → p )  )  ) 

                 ☰  (  ( p ↔ ~q )  )