$n(n-1)+(n-1)(n-2)+(n-2)(n-3)+...$
$n(n-1) +(n-1)((n-1)-1)+(n-2)((n-2)-1)+.....$
$=n^2-n + (n-1)^2- (n-1) + (n-2)^2 - (n-2)+...$
$=(n^2 +(n-1)^2 + (n-2)^2 +... ) - (n +(n-1) + (n-2) +... )$
$=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2}$
$=\frac{n(n^2-1)}{3}$
Note:
$\sum ^n_{i=1} i= \frac{n(n+1)}{2}$
$\sum ^n_{i=1} i^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$