$\begin{vmatrix} 1+a & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1+b & 1&1 \\ 1 &1 & 1+c &1 \\ 1 & 1& 1& 1+d \end{vmatrix}$
$=\begin{vmatrix} 1+a & 1+0 & 1+0 & 1+0\\ 1 & 1+b & 1&1 \\ 1 &1 & 1+c &1 \\ 1 & 1& 1& 1+d \end{vmatrix}$
Splitting the 1st row
$=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1+b & 1&1 \\ 1 &1 & 1+c &1 \\ 1 & 1& 1& 1+d \end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1+b & 1&1 \\ 1 &1 & 1+c &1 \\ 1 & 1& 1& 1+d \end{vmatrix}$
$=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1+0 & 1+b & 1+0&1+0 \\ 1 &1 & 1+c &1 \\ 1 & 1& 1& 1+d \end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1+b & 1&1 \\ 1 &1 & 1+c &1 \\ 1 & 1& 1& 1+d \end{vmatrix}$
Splitting the 2nd Row of 1st determinant
$=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1&1 \\ 1 &1 & 1+c &1 \\ 1 & 1& 1& 1+d \end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & b & 0&0 \\ 1 &1 & 1+c &1 \\ 1 & 1& 1& 1+d \end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1+b & 1&1 \\ 1 &1 & 1+c &1 \\ 1 & 1& 1& 1+d \end{vmatrix}$
$=0$$+\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & b & 0&0 \\ 1+0 &1+0 & 1+c &1+0 \\ 1 & 1& 1& 1+d \end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1+b & 1&1 \\ 1 &1 & 1+c &1 \\ 1 & 1& 1& 1+d \end{vmatrix}$
Splitting the 3rd Row of 1st determinant
$=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & b & 0&0 \\ 1&1 & 1 &1 \\ 1 & 1& 1& 1+d \end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & b & 0&0 \\ 0 &0 & c &0 \\ 1 & 1& 1& 1+d \end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1+b & 1&1 \\ 1 &1 & 1+c &1 \\ 1 & 1& 1& 1+d \end{vmatrix}$
$=0$$+\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & b & 0&0 \\ 0 &0 & c &0 \\ 1+0 & 1+0& 1+0& 1+d \end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1+b & 1&1 \\ 1 &1 & 1+c &1 \\ 1 & 1& 1& 1+d \end{vmatrix}$
Splitting the 4th Row of 1st determinant
$=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & b & 0&0 \\ 0 &0 & c &0 \\ 1 & 1& 1& 1 \end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & b & 0&0 \\ 0 &0 & c &0 \\ 0 & 0& 0& d \end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1+b & 1&1 \\ 1 &1 & 1+c &1 \\ 1 & 1& 1& 1+d \end{vmatrix}$
$=0+bcd$$+\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 1+0 & 1+b & 1+0&1+0 \\ 1 &1 & 1+c &1 \\ 1 & 1& 1& 1+d \end{vmatrix}$
Splitting the 2nd Row of determinant
$=bcd$$+\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1&1 \\ 1+0 &1+0 & 1+c &1+0 \\ 1 & 1& 1& 1+d \end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 0 & b & 0&0 \\ 1 &1 & 1+c &1 \\ 1 & 1& 1& 1+d \end{vmatrix}$
Splitting the 3rd Row of 1st determinant
$=bcd$$+\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1&1 \\ 1 &1 & 1 &1 \\ 1 & 1& 1& 1+d \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1&1 \\ 0 &0 & c &0 \\ 1 & 1& 1& 1+d \end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 0 & b & 0&0 \\ 1 &1 & 1+c &1 \\ 1 & 1& 1& 1+d \end{vmatrix}$
$=bcd$$+0+\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1&1 \\ 0 &0 & c &0 \\ 1+0 & 1+0& 1+0& 1+d \end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 0 & b & 0&0 \\ 1 &1 & 1+c &1 \\ 1 & 1& 1& 1+d \end{vmatrix}$
Splitting the 4th Row of 1st determinant
$=bcd$$+\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1&1 \\ 0 &0 & c &0 \\ 1 & 1& 1& 1 \end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1&1 \\ 0 &0 & c &0 \\ 0 & 0& 0& d \end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 0 & b & 0&0 \\ 1 &1 & 1+c &1 \\ 1 & 1& 1& 1+d \end{vmatrix}$
$=bcd+0+acd$$+\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 0 & b & 0&0 \\ 1+0 &1+0 & 1+c &1+0 \\ 1 & 1& 1& 1+d \end{vmatrix}$
Splitting the 3rd Row of 1st determinant
$=bcd+acd$$+\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 0 & b & 0&0 \\ 1 &1 & 1 &1 \\ 1+0 & 1+0& 1+0& 1+d \end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 0 & b & 0&0 \\ 0 &0 & c &0 \\ 1 & 1& 1& 1+d \end{vmatrix}$
Splitting the 4th Row of 1st determinant
$=bcd+acd$$+\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 0 & b & 0&0 \\ 1 &1 & 1 &1 \\ 1 & 1& 1& 1 \end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 0 & b & 0&0 \\ 1 &1 & 1 &1 \\ 0 & 0& 0& d \end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 0 & b & 0&0 \\ 0 &0 & c &0 \\ 1 & 1& 1& 1+d \end{vmatrix}$
$=bcd+acd+0+abd$$+\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 0 & b & 0&0 \\ 0 &0 & c &0 \\ 1+0 & 1+0& 1+0& 1+d \end{vmatrix}$
Splitting the 4th Row of determinant
$=bcd+acd+abd$$+\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 0 & b & 0&0 \\ 0 &0 & c &0 \\ 1 & 1& 1& 1 \end{vmatrix}$$+\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 0 & b & 0&0 \\ 0 &0 & c &0 \\ 0 & 0& 0& d \end{vmatrix}$
$=bcd+acd+abd+abc+abcd$
$=abcd\left ( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} +\frac{1}{c} +\frac{1}{d}+1 \right )$
$\therefore$ Option $A.$ is the correct answer.