$5^{625} = {5^{5}}^{125} = 3125^{125} $
$3125^{125} \mod 7 = (3125 \mod 7)^{125} \\= 3^{125} \mod 7 \\= \left(3^5 \mod 7\right) ^{25} \\= \left(243 \mod 7\right) ^{25} \\= 5^{25} \mod 7 \\=\left(5^5 \mod 7\right)^5\\= \left(3125 \mod 7\right) ^ 5 \\= 3^5 \mod 7 = 5.$