$sum=a\oplus b \oplus c_{in}=(a\oplus b) \oplus 1 = a\odot b$
$carry = a.b + c_{in}(a\oplus b) = a.b + (a\oplus b) = a + b$
$f(a,b,c,d) = 0.(c’.d’) + ((a \odot b)\oplus (a+b))(c’.d) + (a+b)(c.d’) + (a’.b’)(c.d)$
$f(a,b,c,d) = (a’.b’ + a.b’ + a’.b)(c’.d) + a.c.d’ + b.c.d’ + a’.b’.c.d$
$f(a,b,c,d) = a’.b’.c’.d + a.b’.c’.d + a’.b.c’.d + a.(b + b’).c.d’ + (a+a’).b.c.d’ + a’.b’.c.d$
$f(a,b,c,d) = a’.b’.c’.d + a.b’.c’.d + a’.b.c’.d + a.b.c.d’ + a.b’.c.d’ + a.b.c.d’ +a’.b.c.d’ + a’.b’.c.d$
$\therefore f(a,b,c,d) = \sum(1,3,5,6,9,10,14)$
