$(A-\lambda I)X=0$
$\text{take first option}$
$\begin{bmatrix} 5-\lambda &0 &0 &0 \\ 0&5-\lambda & 5 &0 \\ 0&0 &2-\lambda &1 \\ 0& 0&3 &1-\lambda \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ -2\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$ =$\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$
consider the first row -- $5-\lambda+0=0$
$\equiv$ $\lambda=5$ it is eigen value for this eigen vector [1 -2 0 0]^t
$Ax=\lambda x$
$\begin{bmatrix} 5 &0 &0 &0 \\ 0&5 & 5 &0 \\ 0&0 &2&1 \\ 0& 0&3 &1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ -2\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix} 5\\ -10\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 5 &0 &0 &0 \\ 0&5 & 5 &0 \\ 0&0 &2&1 \\ 0& 0&3 &1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ -2\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$=$5$$\begin{bmatrix} 1\\ -2\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}$
we can see $\lambda =5$
so first is correct option.